一、什么是三线合一
在△ABD和△ACD中：
{ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）
{ AB=AC（等腰三角形的性质)
｛ AD=AD（公共边）
∴△ADB≌△ADC（SSS）
可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC (全等三角形对应角相等）
∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180°（平角定义）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）
∴AD⊥BC
同理，若△ABC为等边三角形，结论同样成立
得证
应用
1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC
∴AD⊥BD,AD平分∠BAC
2.∵AB=AC,AD⊥BC
∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC
3.∵AB=AC,AD平分∠BAC
∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC
逆命题
① 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
三线合一证明辅助线
② 如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③ 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
①AD⊥BC于D，②AD平分∠BAC，③AD是BC中线
（1）若以①②为条件，求证AB=AC。理由如下：
∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(ASA)
∴AB=AC
（2）若以②③为条件，求证AB=AC。理由如下：
∵AD是BC中线，
∴S△ABD=S△ACD，
作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
又∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∴AB=AC（等底等高）
（3）若①③，求证AB=AC。理由如下：
∵BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC
二、什么叫三线合一？
三线合一，指三角形顶角角平分线，底边上的高，以及底边上的中线重合，即三条线段合为一条。
三线合一的证明：
已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
等腰三角形ABC(AB=AC)
证明：
在△ABD和△ACD中：
{ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）
AB=AC(等腰三角形的性质)
AD=AD（公共边）
∴△ADB≌△ADC（SSS）
可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等）
∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180度（平角定义）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）
∴AD⊥BC
得证
三线合一应用：
① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
② 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③ 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
