一、收敛数列必有上界下界吗？

函数收敛不一定有界，因为有界的充要条件是既有上界又有下界

收敛的数列{xn}，在n→∞时，xn→A，这个A是一个固定的极限值，是一个常数，所以必然有界。但这个有界不是说上下界都有，只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。

定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|

定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。

数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件收敛数列与其子数列间的关系，子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|

二、收敛数列一定有界的问题

对，收敛数列一定有界，但不一定上下界都有。有界是存在极限的必要条件，但有界不一定就有极限。

三、收敛数列一定有界的问题？

是的，收敛数列一定有上下界的。这个可以证明。你说的有界一定收敛这个是不是口误，这个不对的。有界数列不一定收敛。比如数列(-1)^n。这个数列有界，但不收敛。

四、收敛函数必有界正确吗?

正确，收敛函数就是趋于无穷的（包括无穷小或者无穷大），该函数总是逼近于某一个值，这就叫函数的收敛性。

从字面可以含义，就可理解为，函数的值总被某个值约束着，就是收敛，所以收敛必定有界，但是不一定上下界都有。

数列收敛与有界性的关系：

数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立。

如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。