三角形的五心指哪五心？

一 定理

重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的

离是它到对边中点距离的2倍该点叫做三角形的重心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。

内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

垂心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的垂心。三角形有三个垂心。

重心三角形三边的中线的交点,它分对应边中线之比为1:2

证明共线可用塞瓦定理.

外心是中垂线焦点

中心即几何中心.重心

欧拉线有外心,重心,垂心共线.

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。

三角形的“五心”指的是？

你好，

分别为：外心（三条中垂线的交点），内心（三条内角角平分线的交点），重心（三条中线的交点），垂心（三条高的交点），旁心（一角的角平分线与另外两角的外角平分线的交点）

三角形的五心分别是什么？

三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心．.三角形五心定律指是三角形重心定律，外心定律，垂心定律，内心定律，旁心定律的总称，

（一），三角重心重心定律：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫作三角形的重心．三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。

重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为[(X1+X2+X3)/3],[Y1+Y2+Y3/3)]。

（二），三角形外心定律：三角形的三条边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。即三角形为切圆的圆心．注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理其实极好证。

计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

（三），三角形垂心定律：三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：

1.三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2.垂心外心内心三心共线。

3.垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

４此点分每条高线的两部分乘积

定律证明

已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F 求证：CF⊥AB

证明：

连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE

∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC　∴ΔAEO∽ΔADC

∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE

又∵∠ABE+∠BAC=90度　∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB

因此，垂心定理成立！

（四），三角形的内心定律：三角形的三条内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心．即三角形内切圆的圆心。注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。

若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。

直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

（五），三角形旁心定律：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心

性质

每个三角形都有三个旁心。

它到三边的距离相等。

如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.

三角形五心歌（重外垂内旁）

三角形有五颗心；重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混．

重 心

三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了，

重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．

外 心

三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点．

此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键．

垂 心

三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整，

直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清.

内 心

三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源；

点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”如此定义理当然．

三角形五心各是什么？

三角形共有五心：内心（三条角平分线的交点）、外心（三条中垂线的交点）、重心（三条中线的交点）以及垂心（三条高所在直线的交点），旁心（三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点）．

三角形有哪五心

1.内心。指三条内角平分线相交的点，在三角形中只有一点，到三角形三边的距离相等，以这点为圆心，到一边的距离为半径，作的圆与三边相切。

2.旁心。指三角形两条外角平分线与另外一条内角平分线的交点。在三角形中有四个，到三角形三边所在直线的距离相等，以这点为圆心，到一边所在直线的距离为半径，作的圆与三边所在直线相切。

3.重心。指三条中线相交的点，在三角形中只有一点，是每条中线的三等分点。

4.垂心。指三条高线相交的点，在三角形中只有一点。锐角三角形垂心在三角形内，直角三角形垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外。

5.外心。指三边中垂线（垂直平分线）相交的点，在三角形中只有一点。锐角三角形外心在三角形内，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外。